数独清SodoCoolEH的数独杂谈#7-1 致命结构（1）-唯一矩形初步

数独清SodoCoolEH的数独杂谈#7-1 致命结构（1）-唯一矩形初步如下：

友情提示：

本篇是非链技巧的第一篇，看懂这方面的内容并不需要掌握链的技巧。尽管如此，本篇内容仍然比较繁琐，希望你能仔细阅读，仔细思考，必要时使用演算纸进行推演。

（也不知道是哪个笨蛋美人把UR放在非链第一篇而不是鱼/链列之类的）

重要提醒：

一切致命结构都必须以数独有且仅有唯一解为前提。考虑到大部分的标准数独都默认为唯一解，这一条不会在后面的致命结构篇章里再次强调。

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目录：

一、唯一矩形的核心要义

1. 一个实例

2. 对上述实例的深入探讨

二、UR的使用·基本UR构型

1. 标准型（UR Type 1）

2. 区块组型/待定数型（UR Type 2）

3. 对角待定数型（UR Type 2B/5）

4. 待定数组型（UR Type 3）

5. 共轭对型（UR Type 4）

6. 平行共轭型/二链列型（UR Type 4B/6）

7. 正交共轭型（UR Type 4C/Hidden UR）

三、小结

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本次我们的杂谈系列将进入一个新的技巧：致命结构。由于是开篇，先讨论致命结构里最简单的一个：唯一矩形（Unique Rectangle，简称UR）。

先以一个简单的例子引出唯一矩形的核心要义。

一、唯一矩形的核心要义

1. 一个实例

先来一个实例。请关注下图中绿色方形圈起来的4个单元格：

注意到有且仅有3个格子只包含候选数37，而另一个格子除了37外还有一个2。这四个格子正好就像是一个矩形的四个顶点一样。

这样的结构是否能带来一些有用的结论呢？

我们来假设r9c1的2不存在，看看此后的盘面：

现在这四个格子都是37，我们可以简单地理解为一堆37数组的结合。

我们的分析方式是，考虑一下现在这四个格子的填法。有且仅有两种：

3 7 ｜ 7 3

7 3 ｜ 3 7

分别代入进去试试吧，这两张图我们分别叫做图1和图2：

我们注意到，无论是哪种填法，对于所有剩余未填入的单元格，它们包含的候选数是完全一样的（包括涂红的部分也完全一样）！

假如剩下的单元格可以按照某种方式填入，使得图1成为标准数独的一个解。那么按照同样的方式填入图2，它也肯定是标准数独的另一个解。这样这道标准数独就有了两个不同的解，不符合要求。

因此假设错误，剩余的格子怎么填都不可能使得盘面有解。

既然r9c1的2被删去后发生了无解的结果，那不就说明r9c1=2吗？

2. 对上述实例的深入探讨

回想一下我们是如何推出结论的。在r9c1的2删去后，矩形的四个顶点都只包含37两种候选数。这样就在局部产生了两种填法，而对外界其余单元格的候选数毫无影响。通过反证法，发现这个结构是错的，于是得到r9c1=2的结论。

现在换个角度：删去r9c1的2后，既然结构内两种填法余下的单元格都是同样的候选数，那么反过来说，即使把外面的单元格全填完，也没有任何迹象可以确定结构内的填数情况到底是哪一种。

像这样“局部多解，全盘无解”，就是唯一矩形的特点了（也是所有致命结构的共同特点）。同时也启发我们，如果我们想在盘面里制造一个这样的“局部多解”结构，我们也需要让结构里的各种可能性都不影响结构外的候选数。这种“局部多解”的结构就是致命结构，而唯一矩形（UR）是其中最简单的一类。

由此得到唯一矩形（UR）的产生条件（缺一不可）：

（1）必须涉及有且仅有4个单元格；

（2）从候选数组成上，这4个单元格只能包含有且仅有两种候选数；

（3）从单元格排布上，它们必须排列成矩形，且只能分属于两个宫内。

前两条都好理解。我们仔细分析一下第三条。实际上，第三条的规定是用来确保结构内无论哪种填法，结构外候选数组成保持不变。

不懂？我们再看看刚才的例子：

看看这个结构，是不是满足了条件3呢？

在结构涉及的四个单元格r19c12中，数字3和7分别只能交叉放置，但无论哪种填法：

（1）r1和r9两行内分别形成37数组，两行内其余位置都不能有37；

（2）c1和c2两列内分别形成37数组，两列内其余位置都不能有37；

（3）b1和b7两宫内分别形成37数组，两宫内其余位置都不能有37。

现在应该体会到“结构外候选数组成保持不变”的意思了吧？这也就解释了为什么这个结构不能是梯形，以及为什么这个矩形的四角不能分属四个宫内：

（满足条件1和2，但是排列成梯形。虽然79也可以交叉放置，但两种填法对于r5和r6两行内其余单元格候选数的影响不同，所以不算是局部多解，不构成致命结构。）

（满足条件1和2，但四个单元格分属四宫。虽然1和3可以交叉放置，但两种填法对于四个宫其余单元格的候选数影响不同，所以不算是局部多解，不构成致命结构。）

这也就看到了，我们严格限定它是个矩形，是为了在行列范围内形成数组；严格限定四个单元格分属两宫，是为了在宫内也形成数组。双管齐下，才能达成“结构外候选数组成保持不变”的总体效果。

这一部分的内容会有点绕。后面的小结部分会再一次总结这部分的收获。理解了这一部分的内容对于后续更复杂致命结构的探讨很有帮助！

二、UR的使用·基本UR构型

UR是一种致命结构，只要它出现在盘面上就是错的。所以UR的用法很明确，就是千方百计地避免差点是UR的结构成为真正的UR。

根据不同的情况，我们各有不同策略来达成目的。先从基础的开始，一起来看看吧！

1. 标准型（UR Type 1）

你已经见过了，我们刚才的例子就是标准型的。除了一格之外，剩下三格都直接是同样的两种候选数。

仿照这个逻辑理解一下下面这张同为标准型的图吧！

2. 区块组型/待定数型（UR Type 2）

观察下图：

我们注意到在46的基础上，有两格多出了一个相同的数字8。

如果r9c46的8同时消失，则UR产生，导致错误。所以，r9c46至少有一个是8。它们构成了一个类似于“区块”的东西，而它们共同看到的三个格子——r9c25和r8c5，就都不可以是8了。

（你可以反过来想想这三格任何一个为8的后果：r9c46的8消失，UR产生。）

在区块组型中，虽然无法直接确定多出来那个数字的位置，但它一定在那儿。

3. 对角待定数型（UR Type 2B/5）

虽然属于第五类，但分析方法与第二类没有什么不同。

r3c45和r8c4的6至少有一个成立，否则UR产生。因此这三格共同看到的r1c4，就不能是6了。

4. 待定数组型（UR Type 3）

这个类型稍微复杂一些。请观看下面的例子：

我们注意到，如果r5c6的48和r5c8的6同时消失，那么UR产生。因此它们至少有一个成立，并且配合r5c347三格形成关于2468的显性数组。

有人会问：“四个数字填5格，也能是显性数组吗？”这其实很好理解。r5c6的4，r5c6的8和r5c8的6，无论哪个成立，都会有r5c347三格形成数组。结合那个成立的数字本身，不就是2468四个数字填4格的显性数组了嘛。

那么有哪些格子根本不可能纳入这个数组的范围呢？只剩下r5c2了。r5c2不能包含2468的任何一个，显然只能是1。

数组有显性的，自然也就有隐性的。还是这个例子：

这次我们换个思路：如果蓝框1不存在，那么r5产生13的隐性数组，仍然产生UR。所以蓝框1必然成立。

这个例子启示我们，在寻找UR时，除了考虑候选数组成（让四格内只包含两种候选数），也可以考虑候选数占位（让两种候选数只能挤进四格）。后面的UR构型几乎都是用占位来理解了，因此在这里提醒大家转换一下思路。

5. 共轭对型（UR Type 4）

共轭对？很熟悉吧？我在讲链的时候提到过共轭对的概念。一对共轭对的关系简单来说，就是“非此即彼”。

我们来看看共轭对如何与UR配合删数：

看到这个，你可能会想到r8c2(9)和r8c9(7)至少有一个成立，然后去思考是否存在待定数组了。可惜知道这个条件并没有什么帮助。

我们换个思路。考虑一下组成UR的主要候选数之一：1。看看1在第8行可以怎么填入：

没错！要么填在左边要么填在右边，非此即彼。这两个1就是“共轭对”。

现在想一想，如果r8c2或者r8c9填了2会怎样？在一格填2的情况下，另一格只能填1（否则8行没有1了）。结合9行的那两个12，又导致UR产生了。所以本题的删数结论就是：r8c29≠2。

你看，我们之前的类型分析的都是“不参与UR的数字类型”。现在思路已经转变到“参与UR的数字占位”上了。前几种类型的删数产生于UR之外，而共轭对型UR的删数就产生于UR内部。

6. 平行共轭型/二链列型（UR Type 4B/6）

这类的UR相对于普通的共轭对型，会综合考虑两个同数的共轭对：

不难发现这可能产生关于34的UR。仿照刚才的方法观察4的占位，我们注意到，在c78两列，4都只能填在r16两行。这种形式产生的结果，就是4需要“交叉”放置于对角线的两格。同样是非此即彼。

接下来，如果4填在红色的两格内，那么两个蓝色格可以填什么呢？都只剩下3了。于是只有3和4两种数字填入这四格，UR产生。所以本题删数的结论就是两个红格不能为4。

关于二链列到底是什么，第8单元的非链技巧会更加仔细地进行探讨。

7. 正交共轭型（UR Type 4C/Hidden UR）

接下来是同数的另一种共轭情况：

我们分析9可以填入的位置：

我们发现，r5和c3都出现了9的共轭对。这两个垂直（正交）的共轭对有一个交点，就是r5c3的9。

现在看看r5c3填2之后会发生什么：

为了维持两个共轭对，r2c3和r5c1都只能是9，从而r2c1=2。于是UR产生。所以删数结论就是，r5c3≠2。

唯一矩形的基本构型已经讲的差不多了。不知道大家是否被绕了进去呢？不着急，我们接下来就会总结这些UR的基本构型。

三、小结

1. 致命结构描述了一种“局部多解”的状况。为了达成局部多解，结构内必须有不止一种填法，使得结构外候选数组成保持不变。由于“局部多解”意味着“全局无解”，所以致命结构应予以规避。

2. 唯一矩形（UR）是最小的致命结构。构成唯一矩形需要同时满足三个条件：

（1）必须涉及有且仅有4个单元格；

（2）从候选数组成上，这4个单元格只能包含有且仅有两种候选数；

（3）从单元格排布上，它们必须排列成矩形，且只能分属于两个宫内。

3. 在使用UR技巧时，大致分为两种使用方式：

（1）分析不参与UR的候选数组成。代表例：标准型[1]，区块组型[2]，对角待定数型[2B/5]，待定数组型[3]。

（2）分析参与UR的候选数占位。代表例：共轭对型[4]，二链列型[4B/6]，正交共轭对型[4C]。

因此你在寻找UR技巧时，也尽可能遵循这些原则：

（1）先找是否存在一个分属2宫的4格矩形区域，里面包含两种共有的候选数；

（2）分析不参与UR的候选数组成，看是否为区块/待定数组；

（3）再分析参与UR的候选数占位，特别是共轭对，想想是否符合已学的构型。

4. UR各种类型简图（红色表示删数，必要的共轭对会在图上标注）

标准型[1]

区块组型[2]

对角待定数型[2B/5]

待定数组型[3]

共轭对型[4]

二链列型[4B/6]

正交共轭型[4C]

以上就是数独清SodoCoolEH的数独杂谈#7-1 致命结构（1）-唯一矩形初步相关内容。